Толковый словарь Ушакова
СТАРЕЙШИНСТВО — СТАРЕЙШИНСТВО СТАРЕ́ЙШИНСТВО, старейшинства, мн. нет, ср. (ист., Этногр.). Звание, обязанности старейшины. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935-1940.
Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Старейшинство — старе́йшинство I ср. 1. Управление старшего из князей великокняжеским престолом (на Руси IX - XIII вв.). 2. Деятельность старейшины. II ср. устар. то же, что старшинство II 1. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000.
см. также морфологический разбор слова "старейшинство".