Толковый словарь Ушакова
ПОГОДУШКА — ПОГОДУШКА ПОГО́ДУШКА, погодушки, жен. (обл. и нар.-поэт.). ласк. к погода. «Шумит дубровушка к погодушке.» (посл.) Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935-1940.
Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Погодушка — пого́душка ж. нар.-поэт. ласк. к сущ. погода Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000.
см. также морфологический разбор слова "погодушка".