Словарь Ожегова
Заинька — См. заяц
Толковый словарь Ушакова
ЗАИНЬКА — ЗАИНЬКА ЗА́ИНЬКА, заиньки, муж. (разг.). ласк. к заяц. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935-1940.
Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Заинька — за́инька I м. Употребляется как ласковое обращение к кому-либо (обычно к ребёнку или возлюбленной). II м. разг. 1. уменьш. к сущ. заяц I 1. 2. ласк. к сущ. заяц I 1. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000.
см. также морфологический разбор слова "заинька".