Словарь жаргонов
Бабай — pостовщикстаpик
Толковый словарь Ушакова
БАБАЙ — БАБАЙ БАБА́Й. см. бай-бай. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935-1940.
Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Бабай — баба́й предик. разг. О состоянии сна (в детской речи или в разговоре взрослых с детьми). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000.
см. также морфологический разбор слова "бабай".