Словарь Фамилий
Гаев — ГАЕВ ГАЕВСКИЙ 1) Гай по-украински - роща. 2) Гай (из Гаий) - русское имя, по-гречески означает рожденный землей. (Ф). В тоже время вай, гай, хай - крик, шум. (Э).
см. также морфологический разбор слова "гаев".